Đề thi đại học khối A năm 2012 câu 5 – Hình học không gian

Câu 5.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB.

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o.

Tính thể tích của khối chóp S.ABc

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Giải

2012

Ta có:

\widehat {SCH} là góc giữa SC và (ABC), suy ra \widehat {SCH} = {60^o}

Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Ta có:

HD = \frac{a}{6},CD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

HC=\sqrt {H{D^2} + C{D^2}}= \frac{{a\sqrt 7 }}{3},SH = HC.\tan {60^o}=\frac{{a\sqrt {21} }}{3}

{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {21} }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{{12}}

Kẻ Ax//BC.

Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN.

Ta có:  BC//(SAN) và BA = \frac{3}{2}HA

Nên

d(SA,BC) = d(B,(SAN)) = \frac{3}{2}d(H,(SAN)).

Ta cũng có:

{\rm{Ax}} \bot (SHN) nên

{\rm{Ax}} \bot HK

Do đó: HK \bot (SAN).

Suy ra:  d(H,(SAN))=HK.

AH = \frac{{2a}}{3},HN = AH\sin {60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

HK = \frac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{12}}

Vậy

d(SA,BC) = \frac{{a\sqrt {42} }}{8}

1 Phản hồi

Comments RSS

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: