Đề thi đại học khối A năm 2012 – câu 6- Bất đẳng thức

Câu 6. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = {3^{\left| {x - y} \right|}} + {3^{\left| {y - z} \right|}} + {3^{\left| {z - x} \right|}} - \sqrt {6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2}}

Ta chứng minh {3^t} \ge t + 1,\forall t \ge 0\,(*)

Xét hàm f(t) = {3^t} - t - 1 , có f'(t) = {3^t}\ln 3 - 1 > 0,\forall t \ge 0 và f(0)=0, suy ra (*) đúng.

Áp dụng (*), ta có:

{3^{\left| {x - y} \right|}} + {3^{\left| {y - z} \right|}} + {3^{\left| {z - x} \right|}} \ge 3 + \left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right|

Áp dụng bất đẳng thức \left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right| , ta có:

{(\left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right|)^2} = {\left| {x - y} \right|^2} + {\left| {y - z} \right|^2} + {\left| {z - x} \right|^2}

+ \left| {x - y} \right|(\left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right|) + \left| {y - z} \right|(\left| {z - x} \right| + \left| {x - y} \right|)

+ \left| {z - x} \right|(\left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right|) \ge 2({\left| {x - y} \right|^2} + {\left| {y - z} \right|^2} + {\left| {z - x} \right|^2})

Do đó:

\left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right| + \left| {z - x} \right| \ge \sqrt {2({{\left| {x - y} \right|}^2} + {{\left| {y - z} \right|}^2} + {{\left| {z - x} \right|}^2})}

= \sqrt {6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2} - 2{{(x + y + z)}^2}}

x + y + z = 0 , suy ra

\left|{x - y}\right|+\left|{y - z}\right|+\left|{z - x}\right|\ge=\sqrt {6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2}}

Suy ra

P={3^{\left|{x - y}\right|}}+{3^{\left|{y - z}\right|}}+{3^{\left| {z - x}\right|}}-\sqrt {6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2}}\ge 3

Khi x = y = z thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: