Đề thi đại học khối D năm 2007 – Câu 5.b.2 – Hình học không gian

Câu 5.b.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ở A và B, AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy,

SA = a\sqrt 2 .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

Lời giải.

D2007

Trong tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH có

SH.SB = S{A^2}

\Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{2{a^2} + {a^2}}} = \frac{2}{3}

\Rightarrow \frac{{d(H;(SCD))}}{{d(B;(SCD))}} = \frac{{HS}}{{BS}} = \frac{2}{3}

Cách 1.

Gọi F là trung điểm của AD. Vì AD = 2BC nên AF = DF = BC.

Do đó AFCB, BFDC là các hình bình hành, suy ra CF = AB = a, BF // CD,

CF//AB \Rightarrow CF \bot AD

Vì CF = AF = DF = a nên tam giác ACD vuông tại C

\Rightarrow AC \bot CD.

Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mp(ABCD) nên CD \bot SC  hay tam giác SCD vuông tại C.

Ta có:

BF//(SCD) \Rightarrow d(B;(SCD)) = d(F;(SCD))

\Rightarrow d(H;(SCD)) = \frac{2}{3}d(F;(SCD)).

Lại có CF \bot AD  nên CF \bot (FSD) .

Do đó theo Bài toán 2, hạ FK \bot SD;FI \bot CKthì FI là khoảng cách từ F đến (SCD) và

\frac{1}{{F{I^2}}} = \frac{1}{{F{C^2}}} + \frac{1}{{F{K^2}}}

Ta có: SD=\sqrt {S{A^2}+A{D^2}}=a\sqrt 6

Từ: \Delta SADđồng dạng với \Delta FKD

Suy ra:

\frac{{FK}}{{SA}} = \frac{{FD}}{{SD}}

\Rightarrow FK = \frac{{SA.FD}}{{SD}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}

Do đó

\frac{1}{{F{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{{a^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow FI = \frac{a}{2}

Vậy

d(H;(SCD)) = \frac{2}{3}FI = \frac{a}{3}

1 Phản hồi

Comments RSS
  1. dangtrungkien

    Bài toán này xuất phát từ một bài toán tính khoảng cách trong sách giáo khoa hình học 11. Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 2 năm 2012 đã đề cập đến vấn đề này. Do vậy tôi đã đăng bài này lên !

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: