Bài tập giải tích hàm – bài 1 trang 20 (Không gian định chuẩn)

· Giải tích hàm

Bài 1 Trang 20 Trích  từ sách Bài tập giải tích hàm của Lê Mậu Hải – Tăng Văn Long

1. Giả sử C{\rm{[}}0,1] là không gian vec tơ các hàm liên tục với phép cộng và nhân vô hướng thông thường.

Xét \rho :C{\rm{[}}0,1] \to {\rm{[0, + }}\infty )  xác định bởi \rho (f) = \left| {\int\limits_0^1 {f(x)dx} } \right|.

Chứng minh \rho  là nửa chuẩn nhưng không là chuẩn trên

C{\rm{[}}0,1]

\rho (f) = \left| {\int\limits_0^1 {f(x)dx} } \right| \ge 0\forall f \in C{\rm{[}}0,1]

\rho (\lambda f) = \left| {\int\limits_0^1 {(\lambda f)(x)dx} } \right| = \left| {\int\limits_0^1 {\lambda f(x)dx} } \right|

\left| {\lambda \int\limits_0^1 {f(x)dx} }\right|=\left| \lambda\right|\left|{\int\limits_0^1 {f(x)dx} }\right|=\left|\lambda \right|\rho (f)

\rho (f + g) = \left| {\int\limits_0^1 {(f + g)(x)dx} } \right|

= \left| {\int\limits_0^1 {(f(x) + g(x))dx} } \right|

= \left| {\int\limits_0^1 {f(x)dx + \int\limits_0^1 {g(x)dx} } } \right| \le \left| {\int\limits_0^1 {f(x)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {g(x)dx} } \right|

= \rho (f) + \rho (g)

Xét hàm f(x) = 2x – 1 thì f \in C{\rm{[}}0,1]

\rho (f) = \left| {\int\limits_0^1 {(2x - 1)dx} } \right| = 0

Nhưng

f \ne 0

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: