Bài tập giải tích hàm – bài 60 trang 29 (Không gian định chuẩn)

· Giải tích hàm

Bài 60 Trang 29 Trích  từ sách Bài tập giải tích hàm của Lê Mậu Hải – Tăng Văn Long

Bài tập 60. Cho f:E \to Flà ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng f là liên tục khi và chỉ khi

{{\rm{\{ f(}}{{\rm{x}}_n}{\rm{)\} }}_{n \ge 1}}bị chặn với mọi dãy

{{\rm{\{ }}{{\rm{x}}_n}{\rm{\} }}_{n \ge 1}} \to 0trong E.

Giải

Nếu f liên tục thì với mọi

{{\rm{\{ }}{{\rm{x}}_n}{\rm{\} }}_{n \ge 1}} \to 0 ta có:

{\rm{f(}}{{\rm{x}}_n}{\rm{)}} \to {\rm{f(0) = 0}}

. Do đó  f({x_n})bị chặn.

Ngược lại,

Ta chỉ cần chứng minh f bị chặn trên hình cầu đơn vị.

Giả sử trái lại f không bị chặn.

Khi đó, với mỗi n, tồn tại {x_n} \in \overline B (0,1) sao cho

\left\| {f({x_n})} \right\| \ge n .

Đặt {y_n} = \frac{{{x_n}}}{{\sqrt n }} .

Khi đó {y_n} \to 0 .

Theo giả thiết , dãy

{\rm{\{ f(}}{{\rm{y}}_n}{\rm{)\} }}bị chặn nên tồn tại M > 0 sao cho

M \ge \left\| {f({y_n})} \right\| = \frac{1}{{\sqrt n }}\left\| {f({x_n})} \right\| \ge \sqrt n ,\forall n

Điều này mâu thuẫn với giả sử

Vậy f bị chặn trên hình cầu đơn vị

Vậy f liên tục

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: