Đề thi đại học khối A năm 2011 – Câu 4- Hình học không gian

Thí dụ 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a.

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N.

Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Phân tích:

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN ta sẽ quy về tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng cách trong mp(ABC) kẻ đường thẳng \Delta đi qua N và song song với AB.

Khi đó

d(AB;SN) = d(AB;mp(S,\Delta )) = d(A;mp(S,\Delta )).

SA \bot (ABC)(hay\,mp(A,\Delta )) nên theo cách xác định của Bài toán 2, hạ

AQ \bot \Delta (Q \in \Delta ) ,AH \bot SQ(H \in SQ)

Thì d(AB;SN) = d(A;mp(S,\Delta )) = AH

A2011

Lời giải.

Từ giả thiết ta có:SA \bot mp(ABCD)

AB \bot BC nên SB \bot BC , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là

\widehat {SBA} \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^0} \Rightarrow SA = AB\tan {60^0} = 2a\sqrt 3

Suy ra MN//BC, nên N là trung điểm của đoạn AC.

Gọi \Delta là đường thẳng đi qua N và song song với AB.

Hạ AQ \bot \Delta (Q \in \Delta )

Ta có AB // (SQN)

\Rightarrow d(AB;SN) = d(AB;(SQN)) = d(A;(SQN))

Hạ AH \bot SQ(H \in SQ)

A2011

Vì  QN \bot AQ,QN \bot SA nên QN \bot (SAQ)

\Rightarrow (SQN) \bot (SAQ) \Rightarrow AH \bot (SQN)

Do  đó d(AB;SN) = AH.

AQ = MN = \frac{1}{2}BC = a nên

\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}} = \frac{{13}}{{12{a^2}}}

Vậy

d(AB;SN) = AH = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}

%(count) bình luận

Comments RSS
  1. dangtrungkien

    Bài toán này xuất phát từ một bài toán tính khoảng cách trong sách giáo khoa hình học 11. Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 2 năm 2012 đã đề cập đến vấn đề này. Do vậy tôi đã đăng bài này lên !

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: