Từ một bài toán tính khoảng cách trong sách giáo khoa hình học 11

Trích từ tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 2 năm 2012 (Tác giả: Cao Thị Thanh Lê)

Trong Sách giáo khoa hình học Nâng cao 11 có bài tập:

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Khi đó hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC) là trực tâm tam giác ABC và

\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}

(Bài 7 trang 103).

Trong bài viết này, chúng tôi xin phát biểu bài tập đó theo một cách khác để tạo ra các bài toán cơ bản mà vận dụng chúng có thể giải quyết được nhiều bài toán tính khoảng cách trong không gian. Việc chứng minh các bài toán này đơn giản xin dành cho bạn đọc.

I. Các bài toán

Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

Đặt OA = a, OB = b, OC = c. Khi đó khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC) và

\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} (h.1)

Hinh1

Hình 1

Sau đây chúng tôi đưa ra bài toán khái quát của Bài toán 1 bằng cách thay giả thiết ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc bằng giả thiết hai trong ba cặp cạnh đó vuông góc.

Bài toán 2. Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với mặt phẳng (OBC). Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC) (h.1).

Hinh1

Hình 1

Bằng cách đặc biệt hóa Bài toán 2 ta được nhiều bài toán. Bây giờ xét một trường hợp đặc biệt: tam giác OBC vuông ở C.

Bài toán 3. Cho tứ diện OABC có OA \bot (OBC),OC \bot BC . Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ O đến AC.(h.2)

Hình 2

Hình 2

 

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: