Bài tập giải tích hàm – bài 21

· Giải tích hàm

Giả sử (X,\left\| . \right\|) là không gian định chuẩn và Y là không gian con hữu hạn chiều của X

Chứng minh rằng \forall x \in Xđều tồn tại hình chiếu trên Y, tức là tồn tại

{y_o} \in Y sao cho \left\| {x - {y_o}} \right\| = d(x,Y) . Cho ví dụ chứng tỏ rằng hình chiếu của x có thể không duy nhất

i) Đặt d = d(x,Y).

Khi đó tồn tại

{{\rm{\{ }}{{\rm{y}}_n}{\rm{\} }}_{n \ge 1}}\subset Y

sao cho

\left\| {x - {y_n}} \right\| \to d

Điều này suy ra

{{\rm{\{(x -}}{{\rm{y}}_n}{\rm{)\} }}_{n\ge 1}}

bị chặn và do bất đẳng thức tam giác suy ra

{\rm{\{ }}{{\rm{y}}_n}{\rm{\} }}

cũng bị chặn trong X ( do đó trong Y). Vì Y là không gian hữu hạn chiều nên có dãy con

{\rm{\{ }}{{\rm{y}}_{{n_k}}}{\rm{\}}}

hội tụ tới {y_o} \in Y . Khi đó dễ thấy rằng d = \left\| {x - {y_o}} \right\|.

ii) Nói chung phần tử y0 là không duy nhất. Thật vậy, xét trong X = {R^2}với chuẩn

m{\rm{ax}}:\left\| x \right\| = \max \{ \left| {{x_1}} \right|{\rm{,}}\left| {{x_2}} \right|{\rm{\} }} và Y là trục hoành:

Y = {\rm{\{ (a,0):a}} \in {\rm{R\} }}.

Khi đó , với điểm A (0,1) thìd(A,Y) = 1 , và mọi điểm

B(a,0) \in Y

với - 1 \le a \le 1đều là điểm thỏa mãn

\left\| {A - B}\right\|= m{\rm{ax}}\{\left|a\right|{\rm{,1\}=1}}

Có thể xét ví dụ thứ hai như sau: Xét X = {l_\infty }với mỗi n \in N , đặt

{E_n} = Span\{ {e_1}{\rm{,}}...{\rm{,}}{{\rm{e}}_n}{\rm{\} }}

x = {e_{n + 1}} \in {l_\infty }

Các en ở đây là các dãy số bằng 1 ở vị trí thứ n và bằng 0 ở các vị trí khác. Khi đó

d(x,{E_n}) = 1

{\left\| {x - y} \right\|_\infty } = 1với mọi

y = ({\alpha _1},....,{\alpha _n},0,0,...) \in {E_n}

với

\left| {{\alpha _i}} \right| \le 1,i = \overline {1,n}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: