Bài tập giải tích hàm – bài 66 trang 30 (Toán tử tuyến tính liên tục)

· Giải tích hàm

66. Xét C [0,1] là không gian các hàm liên tục với chuẩn sup. Chứng minh rằng ánh xạ

A:C{\rm{[}}0,1] \to {\rm{[}}0,1]

xác định như sau là tuyến tính liên tục và tính chuẩn của chúng

1.A(f)(x) = f(1){x^2}

2.A(f)(x) = f(1) + xf(x)

3. A(f)(x) = f(1) - f(1 - x)

Lời giải:

1. Dễ thấy A là tuyến tính và

\left\| {A(f)}\right\|=\sup\{ \left| {A(f)(x)}\right|{\rm{:x}}\in\left[ {0,1}\right]{\rm{\}= }}\left| {f(1)}\right|

\le\sup\{ \left| {f(x)}\right|{\rm{:x}}\in\left[ {0,1}\right]{\rm{\}=}}\left\| f \right\|,\forall f \in C{\rm{[}}0,1]

Do đó A liên tục và  \left\| A \right\| \le 1. Chọn hàm  f \equiv 1 thì

\left\| f \right\| = 1\left\| A \right\| \ge \left\| {A(f)} \right\| = 1 .

Vậy \left\| A \right\| = 1

2. Từ \left\| {A(f)} \right\| \le 2\left\| f \right\|,\forall f \in C{\rm{[}}0,1]

suy ra A liên tục và \left\| A \right\| \le 2 . Để chứng minh \left\| A \right\| = 2

ta chọn  f(x)= 2x-1. Khi đó

\left\| f \right\|=\sup \{ \left|{2x - 1}\right|{\rm{:x}}\in\left[ {0,1}\right]{\rm{\}= 1}}

\left\| A \right\| \ge \left\| {A(f)} \right\| = \sup \{ \left| {f(1) + xf(x)} \right|{\rm{:x}} \in \left[ {0,1} \right]{\rm{\} }}

= \sup \{ \left| {1 + x(2x - 1)} \right|:x \in \left[ {0,1} \right]{\rm{\} }} = 2

3. Dễ thấy A liên tục và \left\| A \right\| \le 2 . Mặt khác, với mỗi n \ge 1 , chọn

{f_n}(x) = \left\{ \begin{array}{l}  - 1\,\,n{\rm{eu}}\,{\rm{0}} \le {\rm{x}} \le \frac{n}{{n + 1}}\\  2(n + 1)x - 2n - 1\,\,\,n{\rm{eu}}\,\frac{n}{{n + 1}} < x \le 1\,  \end{array} \right.

Khi đó

\left\| {{f_n}} \right\| = 1

\left\| A \right\| \ge \left\| {A({f_n})} \right\| \ge \left\| {A({f_n})(1)} \right\| = \left| {{f_n}(1) - {f_n}(0)} \right| = \left| {1 - ( - 1)} \right| = 2

Do đó

\left\| A \right\| = 2

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: