Bài tập giải tích hàm – bài 94 trang 34 (Không gian định chuẩn)

· Giải tích hàm

Bài 94 Trang 34 Trích  từ sách Bài tập giải tích hàm của Lê Mậu Hải – Tăng Văn Long

94. Cho H là siêu phẳng đóng trong không gian định chuẩn E với phương trình f(x) = 0,

f \in E'. Chứng minh rằng

d(a,H):={\rm{inf}}\{\left\| {a - y}\right\|{\rm{:y}} \in {\rm{H\}=}}\frac{{\left| {f(a)} \right|}}{{\left\| f \right\|}},\forall a\in E

Giải

\left| {f(a)} \right| = \left| {f(a - y)} \right| \le \left\| f \right\|.\left\| {a - y} \right\|

.Từ đó

\frac{{\left| {f(a)} \right|}}{{\left\| f \right\|}} \le d(a,H).

Ngược lại, với mọi 0 <\varepsilon <\left\| f\right\| , theo định nghĩa của chuẩn, tồn tại

{x_o} \in E, \left\| {{x_o}} \right\| = 1  sao cho

\left\| f \right\| < \left| {f({x_o})} \right| + \varepsilon  (do đó f({x_o}) \ne 0 )

Đặt y = {x_o} - \frac{{f({x_o})}}{{f(a)}}a  thì f(y) = 0 nên  y \in H, đồng thời

\frac{{f(a)}}{{f({x_0})}}{x_0} = a + \frac{{f(a)}}{{f({x_0})}}y

Do đó

\frac{{\left| {f(a)} \right|}}{{\left\| f \right\| - \varepsilon }} \ge \left\| {\frac{{f(a)}}{{f({x_0})}}{x_0}} \right\| = \left\| {a + \frac{{f(a)}}{{f({x_o})}}y} \right\| \ge d(a,H)

Cho \varepsilon\to 0 ta có bất đẳng thức ngược lại.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: