Bài tập giải tích hàm – bài 102

· Giải tích hàm

102. Giả sử E = C{\rm{[}}0,1]là không gian Banach các hàm liên tục với chuẩn sup. Đặt:

L={\rm{\{ }}f \in C{\rm{[}}0,1]:\int\limits_0^{\frac{1}{2}}{f(x)dx}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f(x)dx}{\rm{\} }}

a) Chứng minh rằng L là siêu phẳng đóng trong E và tìm A \in E'sao cho L = Ker A.

b) Chứng minh rằng A không đạt chuẩn của nó trên hình cầu đóng đơn vị của E.

Giải

a) Xét A:E \to R xác định bởi

A(f)=\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f(x)dx}-\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f(x)dx}

Khi đó dễ thấy rằng A là tuyến tính và \left| {A(f)} \right| \le \left\| f \right\|, với mọi

f \in E. Do đó A liên tục, \left\| A \right\| \le 1và L = ker A là siêu phẳng đóng trong E.

b) Với mỗi n \ge 2 , xét hàm

{f_n}(x)=1\,\,{\rm{if}}\,\,0 \le x \le \frac{1}{2} - \frac{1}{n}

{f_n}(x) = nối tuyến tính nếu

\,\,\frac{1}{2} - \frac{1}{n} < x < \frac{1}{2} + \frac{1}{n}

 

{f_n}(x)=- 1\,\,{\rm{if}}\,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\le x\le 1

Khi đó \left\| {{f_n}} \right\| = 1  và

\left\| A \right\| \ge \left| {A\left( {{f_n}} \right)} \right| = 1 + \frac{2}{n}

Cho n \to \infty  ta nhận được \left\| A \right\| \ge 1 , do đó

\left\| A \right\| = 1

Giả sử phản chứng rằng A đạt chuẩn tại f \in Evới

\left\| f \right\| = \sup \{ \left| {f(x)} \right|{\rm{:x}} \in \left[ {0,1} \right]{\rm{\} }} \le {\rm{1}}

. Khi đó

\left| {\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f(x)dx}-\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f(x)dx} }\right| =1=\int\limits_0^1 {1dx}

Nếu

\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f(x)dx}-\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f(x)dx}=1

Thì điều này suy ra

\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {(f(x) - 1)dx}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^1{(f(x) + 1)dx}

Nhưng

-1\le f(x) \le 1,\forall x \in {\rm{[}}0,1]

suy ra tích phân vế trái không dương và tích phân vế phải không âm, do đó

\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {(f(x) - 1)dx}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {(f(x) + 1)dx}=0

Vì f là hàm liên tục nên

f \equiv 1

trên \left[ {0,\frac{1}{2}} \right]

và f \equiv -1

trên \left[ {\frac{1}{2},1} \right] . Từ đó

1=f(\frac{1}{2})=-1

. Mâu thuẫn

Trường hợp

\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f(x)dx}-\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f(x)dx}=- 1

Làm tương tự ta nhận được điều mâu thuẫn

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: