Bài tập giải tích hàm – bài 70

· Giải tích hàm

70. Xét C\left[ {0;1} \right]

với chuẩn sup và

F = {\rm{\{ x}} \in {\rm{C[}}0;1]:x(0) = x(1) = 0{\rm{\} }}.

Xét A:F \to C{\rm{[}}0;1] cho bởi

({\rm{Ax}})(t) = tx(t) + \int\limits_0^t {x(s)ds}

Chứng minh rằng A tuyến tính liên tục, tìm \left\| A \right\|

Tính chất tuyến tính của A là hiển nhiên. Với mọi t \in \left[ {0;1} \right]ta có:

\left| {({\rm{Ax}})(t)} \right| \le t\left| {x(t)} \right| + \left| {\int\limits_0^t {x(s)ds} } \right|

\le 1.\left\| x \right\| + \int\limits_0^1 {\left\| x \right\|} ds

= 2\left\| x \right\|,

Suy ra \left\| {{\rm{Ax}}} \right\| \le 2\left\| x \right\| , nên A liên tục và

\left\| A \right\| \le 2

Với n \ge 2 xét {x_n} \in F cho bởi

\left\{ \begin{array}{l}  nt\,{\rm{if}}\,0 \le t \le \frac{1}{n}\\  1\,{\rm{if}}\,\frac{1}{n} < t \le 1 - \frac{1}{n}\\  n(1 - t)\,{\rm{if}}\,1 - \frac{1}{n} < t \le 1  \end{array} \right.

Khi đó

\left\| {{x_n}} \right\| = 1,\forall n \ge 1

Do

({\rm{A}}{{\rm{x}}_n})(t) = t{x_n}(t) + \int\limits_0^t {{x_n}(s)ds}

, nên

\left\| {{\rm{A}}{{\rm{x}}_n}} \right\| \ge ({\rm{A}}{{\rm{x}}_n})(1 - \frac{1}{n}) = (1 - \frac{1}{n}){x_n}(1 - \frac{1}{n}) + \int\limits_0^{1 - \frac{1}{n}} {{x_n}(s)ds}

= 1 - \frac{1}{n} + 1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{2n}} = 2 - \frac{5}{{2n}}

Do đó

\left\| A \right\|

\ge

\left\| {{\rm{A}}{{\rm{x}}_n}} \right\|/\left\| {{x_n}} \right\|

= 2 - \frac{5}{{2n}} \to 2

khi

n \to \infty

Vậy

\left\| A \right\| = 2

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: