Bài tập giải tích hàm – bài 71

· Giải tích hàm

Gọi

{C^1}{\rm{[}}0;1]

 

là không gian các vecto các hàm khả vi liên tục trên [0;1].

Với

x \in {C^1}{\rm{[}}0;1]

đặt

{\left\| x \right\|_1} = \mathop {\sup }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} \left| {x(t)} \right| + \mathop {\sup }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} \left| {x'(t)} \right|

a) Chứng minh rằng:

({C^1}{\rm{[}}0;1],{\left\| . \right\|_1})

là không gian Banach

b) Xét

f:{C^1}{\rm{[}}0;1] \to C{\rm{[}}0;1]

 

cho bởi

f(x)(t) = x'(t) + {e^t}x(t)

Chứng minh rằng f tuyến tính liên tục và tìm \left\| f \right\|

Bài làm

a) Kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa

b) Không khó khăn ta có thể chứng minh f tuyến tính. Với

x \in {C^1}{\rm{[}}0;1],t \in {\rm{[}}0,1] ,

ta có

\left| {(fx)(t)} \right| = \left| {{e^t}x(t) + x'(t)} \right| \le {e^t}\left| {x(t)} \right| + \left| {x'(t)} \right|

\le {e^t}\left\| x \right\| + \left\| {x'} \right\|

\le e(\left\| x \right\| + \left\| {x'} \right\|) = e{\left\| x \right\|_1},

Suy ra

\left\| {f(x)} \right\| \le e{\left\| x \right\|_1},\forall x \in C{\rm{[}}0;1]

Điều đó chứng tỏ f liên tục và

\left\| f \right\| \le e

Chọn

{x_n} = \frac{1}{n}t + 1 - \frac{1}{n}

thì {\left\| {{x_n}} \right\|_1} = 1 + \frac{1}{n},\forall n \ge 1

f({x_n})(t) = \frac{1}{n} + {e^t}(\frac{1}{n}t + 1 - \frac{1}{n}) , do đó

\left\| {f({x_n})} \right\| \ge f({x_n})(1) = e + \frac{1}{n}

Suy ra

\left\| f \right\| \ge \frac{{\left\| {f{x_n}} \right\|}}{{{{\left\| {{x_n}} \right\|}_1}}} = \frac{{e + \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{1}{n}}} \to e

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: