Đề thi đại học khối A năm 2006 – câu 5.a.2 Nhị thức Niuton

· A2006, Chỉnh hợp, Chuyên đề tự chọn

2. Tìm hệ số của số hạng chứa x20 trong khai triển nhị thức Niuton của

{(\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7})^n}

, biết rằng

\mathop C\nolimits_{2n + 1}^1+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^2+ ...+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^n={2^{20}}-1

Trong đó n nguyên dương, \mathop C\nolimits_n^k là  số tổ hợp chập k của n phần tử

Giải

Từ giả thiết ta suy ra:

\mathop C\nolimits_{2n + 1}^0 +\mathop C\nolimits_{2n + 1}^1+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^2 +...+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^n ={2^{20}} (1)

\mathop C\nolimits_{2n + 1}^k =\mathop C\nolimits_{2n + 1}^{2n + 1 - k},\forall k,0 \le k \le 2n + 1

nên:

\mathop C\nolimits_{2n + 1}^0+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^1+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^2+ ... +\mathop C\nolimits_{2n + 1}^n =

=\frac{1}{2}(\mathop C\nolimits_{2n + 1}^0+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^1+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^2+ ... + \mathop C\nolimits_{2n + 1}^{2n + 1} )\,(2)

Từ khải triển nhị thức Niu tơn của {(1 + 1)^{2n + 1}}suy ra:

\mathop C\nolimits_{2n + 1}^0+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^1 +\mathop C\nolimits_{2n + 1}^2 + ...+\mathop C\nolimits_{2n + 1}^{2n + 1} ={(1 + 1)^{2n + 1}}= {2^{2n + 1}}(3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra:

{2^{2n}} = {2^{20}}

hay n =  10

Ta có:

{(\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7})^n} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\mathop C\nolimits_{10}^k } {({x^{ - 4}})^{10 - k}}{({x^7})^k} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\mathop C\nolimits_{10}^k {x^{11k - 40}}}

Hệ số của x26 là  \mathop C\nolimits_{10}^k với k thỏa mãn:

11k - 40 = 26 \Leftrightarrow k = 6

Vậy hệ số của x26 là :

\mathop C\nolimits_{10}^6=210

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: