Ví dụ về không gian Banach (Không gian các hàm liên tục)

· Giải tích hàm

Kí hiệu C[a,b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a,b].

Bởi vì mọi hàm liên tục trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định:

\left\| f \right\| = \sup \{ \left| {f(x)} \right|:x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]\} }},f \in C{\rm{[}}a,b{\rm{]}}

Dễ thấy rằng hàm f \mapsto \left\| f \right\|xác định như tren là một chuẩn trên không gian C[a,b].

Như vậy C[a,b] là một không gian định chuẩn.

Sự hội tụ trong C[a,b] đối với chuẩn này chính là sự hội tụ đều.

Ta sẽ kiểm lại C[a,b] là một không gian Banach nghĩa là mọi dãy Cauchy trong đó đều hội tụ

Cho {fnlà một dãy Cauchy trong C[a,b]. Khi đó:

\forall\varepsilon >0,\exists{n_o},\forall n,m\ge {n_o},\forall x\in {\rm{[}}a,b{\rm{]}},\left|{{f_n}(x)-{f_m}(x)}\right|\le \varepsilon\,(1)

Như vậy, với mỗi  cố định, dãy số  là một dãy Cauchy trong K

Do K đầy nên tồn tại

f(x)=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }{f_n}(x),\forall x\in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}

Ta sẽ chỉ ra rằng  f\in C{\rm{[}}a,b{\rm{]}} nghĩa là f liên tục trên[a,b]

{f_n}\to f trong C[a,b].

Trong (1) bằng cách cố định x\in{\rm{[}}a,b{\rm{]}} và n\ge {n_o}  ,

cho m\to\infty   ta được

\left|{{f_n}(x)-f(x)}\right|\le\varepsilon ,\forall x\in {\rm{[}}a,b{\rm{]}},\forall n\ge {n_o} (2)

Vì  {f_{{n_o}}} liên tục tại {x_o}  nên tồn tại  \delta >0 sao cho

\left|{{f_{{n_o}}}(x)-{f_{{n_o}}}({x_o})}\right|\le\varepsilon ,\forall\left|{x - {x_o}} \right|<\delta ,\forall x\in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}

Từ (2) suy ra:

\left|{f(x) - f({x_{o)}}} \right| \le\left|{f(x) - {f_{{n_0}}}(x)}\right|+\left|{{f_{{n_o}}}(x) - {f_{{n_0}}}({x_o})}\right|+\left|{{f_{{n_0}}}({x_o}) - f({x_o})}\right|\le 3\varepsilon

Xảy ra cho mọi  x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}},\left| {x - {x_o}} \right|<\delta

Như vậy tính liên tục của f được chứng minh

Cũng từ (2) suy ra dãy

\mathop{{\rm{\{ }}{{\rm{f}}_n}{\rm{(x)\} }}}\nolimits_{n= 1}^\infty

hội tụ đến f trong C[a,b]

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: