Không gian vector định hướng (phần 2)

· Hình sơ cấp II

Let V be a finite-dimensional real vector space and let b1 and b2 be two ordered bases for V. It is a standard result in linear algebra that there exists a unique linear transformation A : V → V that takes b1 to b2.

Cho V là một không gian vector thực hữu hạn chiều và để cho b1 và b2 là hai cơ sở có thứ tự đối với V. Một kết quả tiêu chuẩn trong đại số tuyến tính nói rằng tồn tại một biến đổi tuyến tính duy nhất

A: V → V mà biến b1 thành b2

The bases b1 and b2 are said to have the same orientation (or be consistently oriented) if A has positive determinant; otherwise they have opposite orientations.

Các cơ sở b1 và b2 được gọi là có cùng hướng nếu A có định thức dương, ngược lại chúng gọi là ngược hướng

The property of having the same orientation defines an equivalence relation on the set of all ordered bases for V. If V is non-zero, there are precisely two equivalence classes determined by this relation. An orientation on V is an assignment of +1 to one equivalence class and −1 to the other.

Tính chất có cùng hướng định nghĩa một quan hệ tương đương trên tập hợp tất cả các cơ sở có thứ tự đối với V. Nếu V khác rỗng, có chính xác hai lớp tương đương được xác định bởi mối quan hệ này.

Định hướng trên V là một phép gán 1 cho một lớp tương đương và -1 đến cái khác

Every ordered basis lives in one equivalence class or another. Thus any choice of a privileged ordered basis for V determines an orientation: the orientation class of the privileged basis is declared to be positive.

Mỗi cơ sở có thứ tự ở trong một lớp tương đương. Vì vậy, bất kỳ sự lựa chọn của một cơ sở ưu tiên cho V xác định một hướng: lớp định hướng của các cơ sở ưu tiên được gọi là dương

For example, the standard basis on Rprovides a standard orientation on R(in turn, the orientation of the standard basis depends on the orientation of the Cartesian coordinate system on which it is built). Any choice of a linear isomorphism between V and Rwill then provide an orientation on V.

Ví dụ, cơ sở chuẩn trên Rn cho một hướng chuẩn trên R(đến lượt nó, định hướng của các cơ sở chuẩn phụ thuộc vào định hướng của hệ tọa độ Descartes mà trên đó nó được xây dựng). Bất kỳ sự lựa chọn của một đẳng cấu tuyến tính giữa V và Rn sau đó sẽ cho một định hướng trên V.

The ordering of elements in a basis is crucial. Two bases with a different ordering will differ by some permutation. They will have the same/opposite orientations according to whether the signature of this permutation is ±1. This is because the determinant of a permutation matrix is equal to the signature of the associated permutation.

Thứ tự của các phần tử trong một cơ sở là rất quan trọng. Hai cơ sở với thứ tự khác nhau sẽ khác nhau bởi một số hoán vị. Chúng sẽ có cùng hoặc ngược hướng tùy thuộc vào việc phép hoán vị này là ± 1. Điều này là do định thức của một ma trận hoán vị bằng dấu của hoán vị liên kết

Similarly, let A be a nonsingular linear mapping of vector space R to Rn  . This mapping is orientation-preserving if its determinant is positive.For instance, in Ra rotation around the Z Cartesian axis by an angle α is orientation-preserving:

Tương tự như vậy, để cho A là một ánh xạ tuyến tính nonsingular của vector không gian Rtới Rn. Ánh xạ này này bảo tồn hướng nếu định thức của nó dương. Ví dụ, trong Rmột phép quay quanh trục Z Cartesian bởi một góc α là bảo tồn hướng:

a1

while a reflection by the XY Cartesian plane is not orientation-preserving

trong khi một phép phản chiếu của mặt phẳng Đề Các XY là không bảo tồn hướng:

a2

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: