Tâm tỉ cự

· Hình học affine và Euclid

Định lý. Cho k điểm {P_1},{P_2},...,{P_k} của không gian afin A và k số thuộc trường K:

{\lambda _1},{\lambda _2},...,{\lambda _k}sao cho

\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}}\ne 0.

Khi đó có duy nhất điểm G sao cho:

\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}\overrightarrow {G{P_i}} }=\overrightarrow 0

Chứng minh.

Lấy một điểm O tùy ý của A thì điểm G xác định bởi:

\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}\overrightarrow {G{P_i}} }=\overrightarrow 0\Leftrightarrow\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}(\overrightarrow {O{P_i}} }-\overrightarrow {OG} )=\overrightarrow 0

\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}\overrightarrow {O{P_i}} }=(\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i})\overrightarrow {OG} }

, tức là

\overrightarrow {OG}=\frac{1}{{\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}} }}\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}\overrightarrow {O{P_i}} }

Chứng minh G là duy nhất

Giả sử còn điểm G2 thỏa mãn

\overrightarrow {O{G_2}}=\frac{1}{{\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}} }}\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}\overrightarrow {O{P_i}} }

Khi đó:

\overrightarrow {G{G_2}}=\overrightarrow {O{G_2}} -\overrightarrow {OG}=\overrightarrow 0\Rightarrow G \equiv {G_2}

Điểm G xác định duy nhất

Điểm G xác định duy nhất

Điểm G nói trong định lí trên được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ số

{\lambda _i}

Trong trường hợp các  {\lambda _i} bằng nhau, điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm Pi

Chú ý:

a) Nếu thay các hệ số

{\lambda _i},i = 1,2,...,k,\,\sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}}\ne 0,

bởi k{\lambda _i},k \in K - {\rm{\{ 0\} }} thì tâm tỉ cự G không thay đổi.

Vậy trong trường hợp G là trọng tâm có thể lấy các {\lambda _i}=1 và khi đó trọng tâm G của hệ điểm {Pi} được xác định bởi:

\overrightarrow {OG}=\frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^k{\overrightarrow {O{P_i}} }

b) Khi k = 2, trọng tâm G của hai điểm P1 và P2 còn gọi là trung điểm của cặp điểm (P1,P2)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: