Định lí 1 (Qua giới hạn dưới dấu tích phân)

· Độ đo tích phân

Định lý: Giả sử {fn} là dãy các hàm đo được không âm trên X và

f(x)=\sum\limits_{n = 1}^\infty {{f_n}(x)} ,x\in X

Khi đó:

\int\limits_X {fd\mu }=\sum\limits_{n = 1}^\infty {\int {{f_n}d\mu } }

Nói cách khác

\int\limits_X {\left({\sum\limits_{n=1}^\infty {{f_n}} }\right)d\mu }=\sum\limits_{n = 1}^\infty {\int\limits_X {{f_n}d\mu }}

Chứng minh

Do {f_n} \ge 0 , nên

\sum\limits_{n=1}^k {{f_n}\le }\sum\limits_{n=1}^\infty {{f_n}=f}

\int\limits_X {(\sum\limits_{n=1}^k {{f_n}} )d\mu }\le\int\limits_X {fd\mu }

\sum\limits_{n=1}^k {\int\limits_X {{f_n}d\mu } }\le \int\limits_X {fd\mu\,\forall k}

Cho k\to\infty ta được:

\sum\limits_{n=1}^\infty {\int\limits_X {{f_n}} d\mu\le } \int\limits_X {fd\mu }

Với mỗi n, vì {f_n}\ge 0, \exists\mathop {{\rm{\{ }}{{\rm{f}}_{n,m}}{\rm{\} }}}\nolimits_{m = 1}^\infty gồm các hàm bậc thang, không âm, đo được, hội tụ tới fn

Đặt {g_m}=\sum\limits_{n = 1}^m {{f_{n,m}}}  là hàm bậc thang đo được không âm

Ta có

{g_{m + 1}} = \sum\limits_{n=1}^{m + 1} {{f_{n,m + 1}}}\ge \sum\limits_{n=1}^m {{f_{n,m + 1}}}\ge\sum\limits_{n=1}^m {{f_{n,m}}}= {g_m}

Suy ra {gm} tăng

Do

{f_{n,m}} \le {f_n}\,\forall n,m

\Rightarrow {g_m}=\sum\limits_{n=1}^m {{f_{n,m}}}\le \sum\limits_{n=1}^m {{f_n}} \le f

Cố định k,

\forall m \ge k ta có:

{g_m}=\sum\limits_{n=1}^m {{f_{n,m}}}\ge\sum\limits_{n=1}^k {{f_{n,m}}}

\Rightarrow f \ge \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {g_m} \ge \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \sum\limits_{n=1}^k {{f_{n,m}}}=\sum\limits_{n=1}^k {{f_n}}

Cho k\to\infty ta được:

\Rightarrow f \ge \mathop {\lim }\limits_{m \to\infty } g(m)\ge\sum\limits_{n=1}^\infty {{f_n}=f}

Vậy g(m) hội tụ tới f

Do đó:

\int\limits_X {fd\mu }=\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \int\limits_X {{g_m}d\mu }=\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \int\limits_X {\sum\limits_{n=1}^m {{f_{n,m}}} d\mu =}

=\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty }\sum\limits_{n=1}^m {\int\limits_X {{f_{n,m}}d\mu\le\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty }\sum\limits_{n = 1}^m{\int\limits_X {{f_n}} }d\mu =\sum\limits_{n=1}^\infty {\int\limits_X {{f_n}d\mu }}}}

1 Phản hồi

Comments RSS
  1. dangtrungkien

    Định lý này trong sách giáo trình Topo- Độ đo tích phân của Nguyễn Văn Khuê, họ đánh máy sai dẫn tới cách chứng minh sai. Tôi cố gắng viết lại !

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: