Định lí 2 (Định lý Lebesgue-Levi về sự hội tụ đơn điệu)

· Độ đo tích phân

Giả sử {fn} là dãy tăng các hàm đo được không âm hội tụ tới f

Khi đó

\int\limits_X {fd\mu }=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_X {{f_n}d\mu }

Chứng minh:

Ta xét hai trường hợp sau

Trường hợp một

\exists {n_o}:\int\limits_X {{f_{{n_o}}}d\mu =+\infty }

Do {f_{{n_o}}} \le {f_n} \le f\,\forall n \ge {n_o}

\Rightarrow +\infty =\int\limits_X {{f_{{n_o}}}d\mu }\le\int\limits_X {{f_n}d\mu }\le\int\limits_X {fd\mu }\le +\infty\,\forall n\ge {n_o}

\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\int\limits_X {{f_n}d\mu }=\int\limits_X {fd\mu }=+\infty

Trường hợp hai

Không

\exists {n_o}:\int\limits _X {{f_{{n_o}}}d\mu =+\infty }\Rightarrow \int\limits_X {{f_n}d\mu }<+\infty \forall n

\Rightarrow {f_n} hữu hạn hầu khắp nơi

(theo hệ quả nếu f khả tích trên X thì f hữu hạn hầu khắp nơi)

Đặt {A_n}={\rm{\{ }}x \in A:{f_n}(x)=+\infty {\rm{\} }}

\Rightarrow {A_n} \in F,\mu ({A_n})=0

Đặt

A =\bigcup\limits_{n=1}^\infty {{A_n}}\in F,0 \le \mu (A) \le \sum\limits_{n=1}^\infty {\mu ({A_n})}=0

\Rightarrow \mu \left( A \right)=0

Hơn nữa

0 \le {f_n}(x) <+\infty \,\forall n,\forall x \in X\backslash A

Đặt

{u_n} = {f_n}(x) - {f_{n - 1}}(x),x \in X\backslash A,n > 1,{u_1}={f_1}

Khi đó {un} là dãy hàm đo được không âm và

\sum\limits_{n=1}^\infty {{u_n}}=\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty } f(n)=f trên X\A

Do đó

\int\limits_{X\backslash A} {fd\mu =\int\limits_{X\backslash A} {\left( {\sum\limits_{n=1}^\infty {{u_n}} } \right)d\mu =\sum\limits_{n=1}^\infty {\int\limits_{X\backslash A} {{u_n}} d\mu }}}

\Rightarrow \int\limits_X {fd\mu =\sum\limits_{n=2}^\infty {\int\limits_{X\backslash A} {({f_n} - {f_{n - 1}})d\mu }+\int\limits_{X\backslash A} {{f_1}} d\mu } }

=\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {\rm{[}}\sum\limits_{n=2}^m {\int\limits_{X\backslash A} {({f_n} - {f_{n - 1}})d\mu }+ \int\limits_{X\backslash A} {{f_1}} d\mu } {\rm{]}}

=\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty }\int\limits_{X\backslash A} {{f_m}d\mu }=\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \int\limits_X {{f_m}d\mu }

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: