Định lí 3 (Bổ đề Fatou)

Bổ đề Fatou. Nếu {f_n} là dãy các hàm đo được không âm trên X, thì

$\int\limits_X {(\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }{\rm{inf}}\,{{\rm{f}}_n})d\mu }\le \mathop {\lim }\limits_{n\to\infty } {\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}d\mu }$

Chứng minh.

Đặt

${g_n}={\rm{inf}}\{ {f_n}{\rm{,}}{{\rm{f}}_{n + 1}}{\rm{,}}...{\rm{\}= }}\mathop {{\rm{inf}}}\limits_{p \ge 0} {f_{n + p}}$

Do ${f_n} \ge 0\Rightarrow {g_n} \ge 0$ và g_n đo được

Hơn nữa

${g_{n + 1}}={\rm{inf}}\{ {f_{n + 1}}{\rm{,}}{{\rm{f}}_{n + 2}}{\rm{,}}...{\rm{\} }} \ge {\rm{inf}}\{ {f_n},{f_{n + 1}},...{\rm{\} }}={g_{_n}}$

g_n hội tụ tới $\lim \inf {f_n}$

Theo định lý Lebesque – Levi ta có:

$\int\limits_X {(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }{\rm{inf}}\,{{\rm{f}}_n})d\mu }=\int\limits_X {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } g(n)d\mu =\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } \int\limits_X {g(n)d\mu } \,(1)$

Mặt khác, do ${g_n}\le {f_n}$ nên $\int\limits_X {{g_{_n}}}\le\int\limits_X {{f_n}}$

$\Rightarrow\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }\int\limits_X {{g_n}}d\mu\le\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }{\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}} d\mu\,(2)$

Từ (1) và (2) ta suy ra:

$\int\limits_X {(\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }{\rm{inf}}\,{{\rm{f}}_n})d\mu }\le\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty } {\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}d\mu }$

Toán – Tin

Định lí 3 (Bổ đề Fatou)

Trả lời Hủy trả lời

Share this:

Like this:

Liên quan

Trả lời Hủy trả lời