Định lí 3 (Bổ đề Fatou)

· Độ đo tích phân

Bổ đề Fatou. Nếu {fn} là dãy các hàm đo được không âm trên X, thì

\int\limits_X {(\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }{\rm{inf}}\,{{\rm{f}}_n})d\mu }\le \mathop {\lim }\limits_{n\to\infty } {\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}d\mu }

Chứng minh.

Đặt

{g_n}={\rm{inf}}\{ {f_n}{\rm{,}}{{\rm{f}}_{n + 1}}{\rm{,}}...{\rm{\}= }}\mathop {{\rm{inf}}}\limits_{p \ge 0} {f_{n + p}}

Do {f_n} \ge 0\Rightarrow {g_n} \ge 0 và gn đo được

Hơn nữa

{g_{n + 1}}={\rm{inf}}\{ {f_{n + 1}}{\rm{,}}{{\rm{f}}_{n + 2}}{\rm{,}}...{\rm{\} }} \ge {\rm{inf}}\{ {f_n},{f_{n + 1}},...{\rm{\} }}={g_{_n}}

gn hội tụ tới \lim \inf {f_n}

Theo định lý Lebesque – Levi ta có:

\int\limits_X {(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }{\rm{inf}}\,{{\rm{f}}_n})d\mu }=\int\limits_X {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } g(n)d\mu =\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } \int\limits_X {g(n)d\mu } \,(1)

Mặt khác, do {g_n}\le {f_n} nên  \int\limits_X {{g_{_n}}}\le\int\limits_X {{f_n}}

\Rightarrow\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }\int\limits_X {{g_n}}d\mu\le\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }{\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}} d\mu\,(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

\int\limits_X {(\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }{\rm{inf}}\,{{\rm{f}}_n})d\mu }\le\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty } {\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}d\mu }

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: