Định lý (Lebesgue về sự hội tụ bị chặn)

· Uncategorized, Độ đo tích phân

Giả sử {fn} là dãy các hàm đo được trên X thỏa mãn

a) fn bị chặn đều bởi một hàm khả tích g không âm trên X:

\left| {{f_n}(x)} \right| \le g(x)\,\forall n \ge 1,\forall x \in X

b) {fn} hội tụ hầu khắp nơi hoặc hội tụ theo độ đo \mu tới f

Khi đó f khả tích và

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_X {{f_n}d\mu }=\int\limits_X {fd\mu }

Chứng minh

a)Xét trường hợp fn hội tụ về f hầu khắp nơi

Đặt

A = {\rm{\{ x}} \in {\rm{X:}}{{\rm{f}}_n}{\rm{(x) khong}} \to {\rm{f(x)\} }}

\Rightarrow A \in F,\mu (A) = 0

Do \left| {{f_n}(x)} \right| \le g(x)\,\forall x \in X\backslash A nên:

\left| {f(x)} \right| \le g(x)\forall x \in X\backslash A

\Rightarrow \int\limits_X {\left| f \right|d\mu }=\int\limits_{X\backslash A} {\left| f \right|\,} d\mu\le \int\limits_{X\backslash A} {gd\mu =\int\limits_X {gd\mu } }<+\infty (1)

Do g khả tích (2)

Từ (1) và (2) suy ra f khả tích

Do {f_n} \le \left| {{f_n}} \right| \le g  nên

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\sup\int\limits_X {{f_n}d\mu\le \int\limits_X {\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty }\sup {f_n}d\mu }=\int\limits_{X\backslash A}{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\sup {f_n}d\mu } }

=\int\limits_{X\backslash A} {fd\mu }=\int\limits_X {fd\mu }

Do  \left| {{f_n}} \right| \le g \Rightarrow {f_n}\ge -g

Khi đó

\int\limits_X {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf {f_n}d\mu }\le\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}d\mu }

\Rightarrow\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty } {\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}d\mu }\ge\int\limits_{X\backslash A} {\lim \inf {f_n}d\mu }=\int\limits_{X\backslash A} {fd\mu }=\int\limits_X {fd\mu }

Do đó:

\int\limits_X {fd\mu }\le\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\rm{inf}}\int\limits_X {{f_n}d\mu }\le\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \int\limits_X {{f_n}d\mu }\le \int\limits_X {fd\mu }

\Rightarrow \lim \int\limits_X {{f_n}d\mu }=\int\limits_X {fd\mu }

b) Xét trường hợp {fn}hội tụ theo độ đo \mu tới f

\Rightarrow \exists {\rm{\{ }}{{\rm{f}}_{{n_k}}}{\rm{\} }} \subset {\rm{\{ }}{{\rm{f}}_n}{\rm{\} :}}{{\rm{f}}_{{n_k}}} \to f hầu khắp nơi

Do \left| {{f_{{n_k}}}} \right| \le g nên theo phần a) suy ra f khả tích

Theo định nghĩa của \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf \int\limits_X {{f_n}}  , tồn tại

{\rm{\{ }}{f_{{n_{{k_1}}}}}{\rm{\} }} sao cho

\mathop {\lim }\limits_{{k_1} \to \infty } \int\limits_X {{f_{{n_{{k_1}}}}}}=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf \int\limits_X {{f_n}}

Do {f_{{n_{{k_1}}}}} \to f theo độ đo \mu

nên \exists {\rm{\{ }}{{\rm{f}}_{{n_{{k_2}}}}}{\rm{\} }} \subset {\rm{\{ }}{{\rm{f}}_{{n_{{k_1}}}}}{\rm{\} :}}{{\rm{f}}_{{n_{{k_2}}}}} \to fhầu khắp nơi

Do

\mathop {\lim }\limits_{{k_2} \to \infty } \int\limits_X {{f_{{n_{{k_2}}}}}}=\mathop {\lim }\limits_{{k_1} \to \infty } \int\limits_X {{f_{{n_{{k_1}}}}}}=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf \int\limits_X {{f_n}} \,(1)

Theo a) ta có

\mathop {\lim }\limits_{{k_2} \to \infty } \int\limits_X {{f_{{n_{{k_2}}}}}d\mu }=\int\limits_X {fd\mu } \,(2)

Từ (1) và (2) suy ra

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf \int\limits_X {{f_n}} \, = \int\limits_X {fd\mu } \,

Tương tự:

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup \int\limits_X {{f_n}d\mu }=\int\limits_X {fd\mu }

Vậy

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_X {{f_n}d\mu }=\int\limits_X {fd\mu }

2 phản hồi

Comments RSS
  1. dangtrungkien

    Định lý này vận dụng rất nhiều đến các yếu tố của giải tích. Ví dụ: Nếu một dãy số thực {un} hội tụ và có giới hạn l thì mọi dãy con của nó đều có giới hạn l

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: