Định lý 3 (Công thức Tích phân Cauchy)

Giả sử f chỉnh hình trên miền D \subset C,{z_o} \in D

Khi đó với mọi chu tuyến \gamma\subset D trơn từng khúc sao cho {z_o}\subset {D_\gamma } ta có:

f({z_o})=\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_\gamma {\frac{{f(z)dz}}{{z - {z_o}}}}

Chứng minh

Chọn r > 0 đủ bé sao cho \overline D ({z_o},r)\subset {D_\gamma }

Đặt {D_{\gamma ,r}}={D_\gamma }\backslash \overline D ({z_o},r)

{C_r}={\rm{\{ z}} \in C:\left| {z - {z_o}} \right|{\rm{=r\} }}

\partial {D_{\gamma ,r}}=\gamma\cup {C^-}_r

Cauchy

The định lý Cauchy cho miền đa liên ta có:

\int\limits_{\partial {D_{\gamma ,r}}} {\frac{{f(z)dz}}{{z - {z_o}}}}=0

Chú ý: z\mapsto\frac{{f(z)}}{{z-{z_o}}} chỉnh hình trên {D_{\gamma ,r}}, liên tục trên \overline {{D_{\gamma ,r}}}

Ta có:

0=\int\limits_{\partial {D_{\gamma ,r}}}{\frac{{f(z)dz}}{{z-{z_o}}}}=\int\limits_{\gamma\cup {C^-}_r}{\frac{{f(z)dz}}{{z-{z_o}}}}=\int\limits_\gamma {\frac{{f(z)dz}}{{z - {z_o}}}}+\int\limits_{{C^-}_r}{\frac{{f(z)dz}}{{z-{z_o}}}}

=\int\limits_\gamma {\frac{{f(z)dz}}{{z-{z_o}}}}-\int\limits_{{C_r}} {\frac{{f(z)dz}}{{z-{z_o}}}}

\Rightarrow\int\limits_\gamma {\frac{{f(z)dz}}{{z- {z_o}}}}=\int\limits_{{C_r}} {\frac{{f(z)dz}}{{z - {z_o}}}} (1)

\left| {z - {z_o}} \right|=r

z-{z_o}=r{e^{i\varphi }}

Đặt

z={z_o} + r{e^{i\varphi }},0\le\varphi\le 2\pi

Ta có:

dz=d({z_o}+r{e^{i\varphi }})=ri{e^{i\varphi }}d\varphi

z - {z_o}=r{e^{i\varphi }}

\int\limits_{{C_r}} {\frac{{f(z)dz}}{{z - {z_o}}}}=\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{f({z_o}+r{e^{i\varphi }})ri{e^{i\varphi }}d\varphi }}{{r{e^{i\varphi }}}}}=i\int\limits_0^{2\pi } {f({z_o} + r{e^{i\varphi }})d\varphi }

=i\left[ {\int\limits_0^{2\pi } {\left( {f({z_o}+r{e^{i\varphi }})-f({z_o})} \right)d\varphi +\int\limits_0^{2\pi } {f({z_o})d\varphi } } } \right]

=i\int\limits_0^{2\pi } {f({z_o})d\varphi }+i\int\limits_0^{2\pi }{\left( {f({z_o}+r{e^{i\varphi }})-f({z_o})}\right)d\varphi }

=2\pi {\rm{if}}({z_o})+i\int\limits_0^{2\pi } {\left( {f({z_o}+r{e^{i\varphi }})-f({z_o})}\right)d\varphi }

Do f liên tục tại zo nên

\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \int\limits_0^{2\pi }{\left( {f({z_o}+r{e^{i\varphi }})-f({z_o})} \right)d\varphi }=0

Suy ra:

\mathop {\lim }\limits_{r \to 0}\int\limits_{{C_r}} {\frac{{f(z)dz}}{{z-{z_o}}}}=2\pi {\rm{if}}({z_o})(2)

Từ (1) và (2)

\Rightarrow\int\limits_\gamma {\frac{{f(z)dz}}{{z-{z_o}}}}=2\pi {\rm{if}}({z_o})

1 phản hồi

Comments RSS

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: