Bài tập Áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n của hàm chỉnh hình

Tính tích phân

{I_1}=\int\limits_{\left|{z - 1}\right|=\frac{2}{3}}{\frac{{{e^z}dz}}{{(z - 2){{(z - 1)}^2}}}}

Áp dụng công thức

{f^{(n)}}({z_o})=\frac{{n!}}{{2\pi i}}\int\limits_\gamma {\frac{{f(z)dz}}{{{{(z - {z_o})}^{n+1}}}},n=0,1,2,...}

\int\limits_\gamma {\frac{{f(z)dz}}{{{{(z-{z_o})}^{n+1}}}}=\frac{{{f^{(n)}}({z_o})2\pi i}}{{n!}},n=0,1,2,...}

{I_1}=\int\limits_{\left|{z-1}\right|=\frac{2}{3}}{\frac{{{e^z}dz}}{{(z-2){{(z-1)}^2}}}}=\int\limits_{\left| {z - 1}\right|=\frac{2}{3}} {\frac{{\frac{{{e^z}}}{{z-2}}dz}}{{{{(z-1)}^2}}}}=\int\limits_{\left|{z-1}\right|=\frac{2}{3}}{\frac{{f(z)dz}}{{{{(z-1)}^2}}}}

Ta có: n+1 = 2 suy ra n = 1, zo =1

Áp dụng công thức với n = 1 :

f'(z)=\left({\frac{{{e^z}}}{{z-2}}}\right)'=\frac{{({e^z})'(z-2)-(z-2)'{e^z}}}{{{{(z-2)}^2}}}

=\frac{{{e^z}(z-2)-{e^z}}}{{{{(z-2)}^2}}}=\frac{{{e^z}(z-3)}}{{{{(z-2)}^2}}}

f'({z_o})=f'(1)=\frac{{{e^1}(1-3)}}{{{{(1-2)}^2}}}=-2e

{I_1}=\int\limits_{\left| {z-1}\right|=\frac{2}{3}}{\frac{{f(z)dz}}{{{{(z-1)}^2}}}}=\frac{{f'(1)2\pi i}}{{1!}}=\frac{{-2e2\pi i}}{1}=-4e\pi i

 

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: