Bài tập tìm điểm khả vi của hàm số (Liên quan đến điều kiện Cauchy-Riemann)

5. Tìm điểm khả vi của hàm số

f(z)={\left| z \right|^2}z-10

Bài làm

Bài này sử dụng tiêu chuẩn Cauchy-Riemann

Gọi điểm khả vi phức của hàm số là z=x + iy(x,y \in R)

Ta có:

f(z)={\left|{x+yi}\right|^2}(x+yi)-10

= {(\sqrt {{x^2} + {y^2}} )^2}(x + yi) - 10

= ({x^2} + {y^2})(x + yi) - 10

= x({x^2} + {y^2}) - 10 + ({x^2} + {y^2})yi

Xét u = x({x^2} + {y^2}) - 10

v = y({x^2} + {y^2})

u, v là R2 khả vi

Xét hệ phương trình Cauchy-Riemann

\left\{ \begin{array}{l}  \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\\  \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  3{x^2} + {y^2} = {x^2} + 3{y^2}\\  2yx = - 2xy  \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  {x^2} = {y^2}\\  yx = 0  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  x = 0\\  y = 0  \end{array} \right.

Vậy f(z) khả vi phức tại f(z)=0

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: