Vận dụng quy luật lượng chất vào việc giải một số bài toán trong Toán-Tin (phần 2)

· Toán-Tin

II. Vận dụng quy luật “chuyển hóa từ những sự thay đổi về lượng thành những sự thay đổi về chất” vào một số bài toán trong Toán học và Tin học

1. Toán học

Ví dụ 1. Cho a \ge 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = a + \frac{1}{a}

Sai lầm thường gặp của học sinh: Đó là áp dụng máy móc luôn bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và  \frac{1}{a}

S=a +\frac{1}{a} \ge 2\sqrt {a \cdot \frac{1}{a}}=2 \Rightarrow M{\rm{inS}}=2

Sai lầm của các em ở chỗ dấu bằng trong bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi và chỉ khi a=\frac{1}{a}=1. Điều này mẫu thuẫn với giả thiết

Dẫn dắt học sinh đi tìm lời giải:

GV: Ta xét thử bảng biển thiên của và S để dự đoán thử Min S bằng bao nhiêu ? (xem xét sự thay đổi về lượng của a, sự thay đổi về lượng của , sự thay đổi về lượng của S, từ đó đưa ra dự đoán Min S (chất của S))

bienthien

GV: Nhìn bảng biến thiên em có nhận xét gì ?

HS:

Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì  \frac{1}{a} càng nhỏ nhưng độ tăng của a rất lớn so với độ giảm của \frac{1}{a}nên khi a càng tăng thì tổng S càng lớn.

GV: Từ đó dẫn đến dự đoán a bằng bao nhiêu thì S đạt min ?

HS:

Min S bằng \frac{{10}}{3} (kết quả hay chất của S) đạt tại điểm nút “a=3”

GV: Bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng mà tại đó các số tham gia phải bằng nhau, nên tại điểm nút “a=3” ta không thể sử dụng trực tiếp cho hai số a và \frac{1}{a} vì 3\# \frac{1}{3} .

GV: Ta xét thử bảng biển thiên của a \cdot \frac{1}{a} và S để dự đoán thử Min S bằng bao nhiêu ? (xem xét sự thay đổi về lượng của a, sự thay đổi về lượng của , sự thay đổi về lượng của S, từ đó đưa ra dự đoán Min S (chất của S))

Tôi gọi hai số cần áp dụng đó là  (\frac{a}{\alpha },\frac{1}{\alpha }) để tại “điểm nút a = 3” thì \frac{a}{\alpha } = \frac{1}{\alpha }

.

GV: Vậy các em thử dự đoán cho thầy \alpha bằng bao nhiêu ?

HS:

a=3 \Rightarrow \frac{a}{\alpha }=\frac{3}{\alpha };\frac{1}{a}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{3}{\alpha }=\frac{1}{3} \Rightarrow \alpha =9

GV: Các em thử biến đổi S dựa vào kết quả trên và bất đẳng thức Cauchy xem?

HS:

S=a+\frac{1}{a}=(\frac{a}{9} + \frac{1}{a})+\frac{{8a}}{9} \ge 2\sqrt {\frac{a}{9} \cdot \frac{1}{a}}+\frac{{8.3}}{9}=\frac{{10}}{3}

Vậy với a = 3 thì M{\rm{inS}} = \frac{1}{3}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: