Hình học 12 – Toán học

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên các đoạn thẳng BD và AD’ sao cho DM = AN. a) Xác định vị trí của hai điểm M, N để MN nhỏ nhất. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và AD’. b) Chứng minh […]

d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi 3 vecto : đôi một cùng phương khi và chỉ khi d song song với d’ khi và chỉ khi : cùng phương nhưng không cùng phương với khi và chỉ khi và d cắt d’ khi và chỉ khi không cùng phương, đồng thời 3 […]

27. Cho đường thẳng: và mặt phẳng (P): x+y+z-7=0. a) Tìm một vecto chỉ phương của d và một điểm nằm trên d. b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P). c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

26. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng: trên mỗi mặt phẳng tọa độ

25. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây: a) Đường thẳng đi qua điểm (4;3;1) và song song với đường thẳng có phương trình: b) Đường thẳng đi qua điểm (-2;3;1) và song song với đường thẳng có phương trình:

24. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây: a) Các trục tọa độ Ox, Oy, và Oz; b) Các đường thẳng đi qua điểm với $latex {x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0$ và song song với mỗi trục tọa độ; c) Đường thẳng đi qua M (2;0;-1) và có vecto […]

10 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A), lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n, và AP = p. a) Tìm sự liên hệ giữa m, n, và p sao cho mp(MNP) […]

9. Cho mặt cầu (S) có phương trình: a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và tính bán kính mặt cầu. b) Tùy theo giá trị của k, hãy xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp (P) với (P): x+y-z+k = 0. c) Mặt cầu cắt 3 trục Ox, Oy, […]

8. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: (P) : 2x-y+z+2=0 và (Q) : x+y+2z-1 = 0. a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tính góc giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1;2;-3), song song với cả (P) và […]

7. Cho hai đường thẳng: và a) Chứng minh rằng d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d. c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của […]

6. Cho hai đường thẳng : và a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và 3 mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

5. Cho hai đường thẳng: và a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tính góc giữa chúng. b) Tính khoảng cách giữa d và d’. c) Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’. d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

4. Cho điểm A(2;3;1) và hai đường thẳng: và a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và d1 b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và d2 c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt cả d1 và d2. d) Tính khoảng cách từ A đến d2.

3. Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình: (P) : x- 3y+ z -1 =0. a) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P). b) Viết phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. c) Viết phương […]

2. Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;1;1) và mặt phẳng (P): x-2y+3z-5=0. a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P); b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P). c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P). d) Tìm tọa độ giao điểm […]

1. Cho 4 điểm A(1;6;2), B(4;0;6), C(5;0;4), D(5;1;3). a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng. b) Tính thể tích tứ diện ABCD. c) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.