102. Giả sử là không gian Banach các hàm liên tục với chuẩn sup. Đặt: a) Chứng minh rằng L là siêu phẳng đóng trong E và tìm sao cho L = Ker A. b) Chứng minh rằng A không đạt chuẩn của nó trên hình cầu đóng đơn vị của E. Giải a) Xét […]

Gọi   là không gian các vecto các hàm khả vi liên tục trên [0;1]. Với đặt a) Chứng minh rằng: là không gian Banach b) Xét   cho bởi Chứng minh rằng f tuyến tính liên tục và tìm  Bài làm a) Kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa b) Không khó khăn ta […]

70. Xét với chuẩn sup và . Xét  cho bởi Chứng minh rằng A tuyến tính liên tục, tìm  Tính chất tuyến tính của A là hiển nhiên. Với mọi ta có: Suy ra  , nên A liên tục và Với  xét  cho bởi Khi đó Do , nên Do đó khi Vậy

Giả sử  là không gian định chuẩn và Y là không gian con hữu hạn chiều của X Chứng minh rằng đều tồn tại hình chiếu trên Y, tức là tồn tại  sao cho  . Cho ví dụ chứng tỏ rằng hình chiếu của x có thể không duy nhất i) Đặt d = d(x,Y). […]

Xét là không gian các hàm liên tục với chuẩn sup và cho trước . Chứng minh rằng ánh xạ Xác định bởi: Là tuyến tính liên tục và tính chuẩn  Dễ thấy Nên A là liên tục và  . Chọn  ta nhận được Vậy 

66. Xét C [0,1] là không gian các hàm liên tục với chuẩn sup. Chứng minh rằng ánh xạ xác định như sau là tuyến tính liên tục và tính chuẩn của chúng 1. 2. 3.  Lời giải: 1. Dễ thấy A là tuyến tính và Do đó A liên tục và  . Chọn hàm […]

Bài 94 Trang 34 Trích  từ sách Bài tập giải tích hàm của Lê Mậu Hải – Tăng Văn Long 94. Cho H là siêu phẳng đóng trong không gian định chuẩn E với phương trình f(x) = 0, . Chứng minh rằng Giải .Từ đó Ngược lại, với mọi  , theo định nghĩa của […]

Bài 60 Trang 29 Trích  từ sách Bài tập giải tích hàm của Lê Mậu Hải – Tăng Văn Long Bài tập 60. Cho là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng f là liên tục khi và chỉ khi bị chặn với mọi dãy trong E. Giải Nếu f liên tục thì với mọi […]

Bài 1 Trang 20 Trích  từ sách Bài tập giải tích hàm của Lê Mậu Hải – Tăng Văn Long 1. Giả sử  là không gian vec tơ các hàm liên tục với phép cộng và nhân vô hướng thông thường. Xét   xác định bởi . Chứng minh  là nửa chuẩn nhưng không là […]